Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點，F是側面BCC₁B₁內的動點，且A₁F∥平面D₁AE，則A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切值的取值范圍是

[2，2

2

]

．

Answer 1

分析：設平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點，分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，可得到A₁F是平面A₁MN內的直線，觀察點F在線段MN上運動，即可得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角取最大值、最小值的位置，從而得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍．

解答：解：設平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點
分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，即點F是線段MN上上的動點．
設直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運動點F并加以觀察，可得
當F與M（或N）重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，此時所成角θ達到最小值，滿足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
當F與MN中點重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達到最大值，滿足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

∴A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍為[2，2

2

]
故答案為：[2，2

2

]．

點評：本題考查了正方體的性質、直線與平面所成角、空間面面平行與線面平行的位置關系判定等知識，屬于中檔題．