Question

存在區間M[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列5個函數：
①f（x）=-x+1； ②f（x）=e^x；③f（x）=x³；④f（x）=cos

π

2

x；⑤f（x）=lnx+1．
其中存在“穩定區間”的函數有

①③④

．（把所有正確的序號都填上）

Answer 1

分析：因為由題意可知，定義域和值域相同的區間為穩定區間，那么根據函數的性質可知①f（x）=-x+1，③f（x）=x³，④f(x)=cos(

π

2

x)，都可以找到穩定區間[0，1]．
而②f（x）=e^x和⑤f（x）=lnx+1 沒有滿足條件的區間．

解答：解：①假設函數f（x）=-x+1存在一個“穩定區間”[a，b]（a＜b），由函數f（x）在實數集R上單調遞減，∴必有f（a）=b，f（b）=a．得-a+1=b，即a+b=1，令a=0，則b=1，經驗證區間[0，1]是函數f（x）的一個“穩定區間”；
③假設函數f（x）=x³存在一個“穩定區間”[a，b]（a＜b），由函數f（x）在實數集R上單調遞增，∴必有f（a）=a，即a³=a，解得a=0，±1，則區間[-1，0]，[0，1]，[-1，1]都是函數f（x）的一個“穩定區間”；
④：同理可以驗證區間[0，1]是④的一個“穩定區間”；
而②f（x）=e^x和⑤f（x）=lnx+1 沒有滿足條件的區間．
故答案為①③④．

點評：充分理解定義域和值域相同的區間為穩定區間是解題的關鍵．