Question

已知奇函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x滿足f（2-x）=f（x）且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x•4^x，則在區(qū)間[0，8]上，不等式f（x）＞1的解是

 

．

Answer 1

分析：先利用條件求出x∈[0，1]時，不等式f（x）＞1的解，再利用題中條件f（2-x）=f（x）求得的對稱軸以及奇函數(shù)與f（2-x）=f（x）求得的周期來求在區(qū)間[0，8]上，不等式f（x）＞1的解即可．

解答：解：由x∈[0，1]時，f（x）=x•4^x＞1解得

1

2

＜x≤1，
由于f（2-x）=f（x）得函數(shù)關(guān)于直線x=1對稱，
所以函數(shù)在x∈[1，2]時，f（x）＞1可解得1≤x＜

3

2

，
即在x∈[0，2]時，滿足f（x）＞1的解為（

1

2

，

3

2

），
又函數(shù)為奇函數(shù)，f（x）=-f（-x），所以得f（2-x）=-f（-x），可得周期為4．
所以當(dāng)x∈（

1

2

+4，

3

2

+4）即x∈（

9

2

，

11

2

），也滿足f（x）＞1．
故答案為    （

1

2

，

3

2

）∪（

9

2

11

2

）．

點評：本題主考查抽象函數(shù)的周期性、對稱性以及奇偶性，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．抽象函數(shù)的抽象性賦予它豐富的內(nèi)涵和多變的思維價值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創(chuàng)新精神．