Question

如圖所示，在四面體P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是線段PB上一點，CF=，點E在線段AB上，且EF⊥PB.

(1)證明PB⊥平面CEF；

(2)求二面角BCEF的大小.

Answer 1

思路解析:線面垂直證明可以由線線垂直或面面垂直來證，所以要充分注意題目中的垂直條件.二面角的求解必須論證角的兩邊與棱垂直.

(1)證明:∵PA²+AC²=36+64=100=PC²，

∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形.

同理,可證△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形.

∴PA⊥平面ABC.

又∵S_△PBC=|PC||BC|=×10×6=30，

而|PB||CF|=×=30=S_△PBC，故CF⊥PB.又已知EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF.

(2)解:由(1)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC，∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE.

在平面PAB內，過F作FF₁垂直AB交AB于F₁，則FF₁⊥平面ABC，

EF₁是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC.

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角.

tan∠FEB=cot∠PBA=，二面角BCEF的大小為arctan.