Question

已知函數f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數，且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求出φ的值，寫出f（x）的解析式；  （2）設a，b，c為△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若sinA=

2 2

3

，f(

B

2

)=1，b=1，求邊長a．

Answer 1

分析：（1）化簡函數表達式為一個角的一個三角函數的形式，利用函數是奇函數，求出φ的值，利用周期求出ω的值，得到f（x）的解析式；  
（2）通過f(

B

2

)=1求出sinB=

1

2

，利用正弦定理求邊長a．

解答：解：（1）函數f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）
由題意f（-x）=-f（x）即2sin（-ωx+φ-

π

6

）=-2sin（ωx+φ-

π

6

）
于是，sin（-ωx+φ-

π

6

）+sin（ωx+φ-

π

6

）=0
由兩角和的正弦公式，得
sin（-ωx）cos（φ-

π

6

）+cos（-ωx）sin（φ-

π

6

）+sin（ωx）cos（φ-

π

6

）+cos（ωx）sin（φ-

π

6

）=0
即：2cos（-ωx）sin（φ-

π

6

）=0
ω＞0 x∈R，知sin（φ-

π

6

）=0
又-

π

6

＜φ-

π

6

＜

5π

6

所以φ-

π

6

=0，φ=

π

6

函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
所以T=π，ω=2
∴f（x）=2sin2x
（2）f（

B

2

）=2sinB=1，所以sinB=

1

2

由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

，即

a

2 2 3

=

1

1 2

，解得a=

4 2

3

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，周期的應用，正弦定理的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．