Question

【題目】設函數x∈R，其中a,b∈R.

（Ⅰ）求f（x）的單調區間；

（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；

（Ⅲ）設a＞0,函數g（x）= |f（x）|,求證：g（x）在區間[0,2]上的最大值不小于.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題（Ⅰ）先求函數的導數，再根據導函數零點是否存在，分類討論；（Ⅱ）由題意得，計算可得.再由及單調性可得結論；（Ⅲ）實質研究函數最大值：主要比較，的大小即可，可分三種情況研究：①；②；③.

試題解析：（Ⅰ）解：由，可得.

下面分兩種情況討論：

（1）當時，有恒成立，所以的單調遞增區間為.

（2）當時，令，解得，或.

當變化時，，的變化情況如下表：

	＋	0	－	0	＋
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，.

（Ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（Ⅰ）知，且，

由題意，得，即，

進而.

又，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數滿足，且，因此，所以.

（Ⅲ）證明：設在區間上的最大值為，表示兩數的最大值.下面分三種情況討論：

（1）當時，，由（Ⅰ）知，在區間上單調遞減，所以在區間上的取值范圍為，因此

，

所以.

（2）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，

所以在區間上的取值范圍為，因此

.

（3）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，

，，

所以在區間上的取值范圍為，因此

.

綜上所述，當時，在區間上的最大值不小于.