Question

【題目】函數f（x）=|sinx|+|sin（x+ ）|的值域為 ．

Answer 1

【答案】[ ， ]
【解析】解：令sinx=0和sin（x+ ）=0，x∈[0，2π）， 解得x=0，π和x= ， ；
∴①當x∈[0， ]時，sinx≥0，sin（x+ ）≥0，
∴f（x）=sinx+sin（x+ ）=2sin（x+ ）cos = sin（x+ ）；
此時x+ ∈[ ， ]，
≤sin（x+ ）≤1，
∴ ≤f（x）≤ ；
②當x∈（π， ）時，sinx＜0，sin（x+ ）＜0，
∴f（x）=﹣sinx﹣sin（x+ ）=﹣ sin（x+ ）；
此時x+ ∈（ ， ），
﹣1≤sin（x+ ）≤﹣ ，
∴ ≤f（x）≤ ；
③當x∈（ ，π）時，sinx＞0，sin（x+ ）＜0，
∴f（x）=sinx﹣sin（x+ ）=2sin（﹣ ）cos（x+ ）=﹣cos（x+ ）；
此時x+ ∈（ ， ），
﹣1≤cos（x+ ）＜﹣ ，
∴ ≤f（x）≤ ；
④當x∈（ ，2π]時，sinx≤0，sin（x+ ）＞0，
∴f（x）=﹣sinx+sin（x+ ）=2sin cos（x+ ）=cos（x+ ）；
此時x+ ∈（ ， ]，
≤sin（x+ ）≤1，
∴ ＜f（x）≤1；
綜上，函數f（x）的值域為[ ， ]．
所以答案是：[ ， ]．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．