Question

【題目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD= ，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，設E為CD中點

（1）求證：D1E⊥平面BEC1
（2）點F在線段A1B1上，且AF∥平面BEC1 ， 求平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知該四棱柱為直四棱柱，且△BCD為等邊三角，BE⊥CD

所以BE⊥平面CDD1C1，而D1E平面CDD1C1，故BE⊥D1E

因為△C1D1E的三邊長分別為 ，故△C1D1E為等腰直角三角形

所以D1E⊥C1E，結合D1E⊥BE知：D1E⊥平面BEC1

（2）解：取AB中點G，則由△ABD為等邊三角形

知DG⊥AB，從而DG⊥DC

以DC，DG，DD1為坐標軸，建立如圖所示的坐標系

此時 ， ，設

由上面的討論知平面BEC1的法向量為

由于AF平面BEC1，故AF∥平面BEC1

故（λ+1，0，1）（1，0，﹣1）=（λ+1）﹣1=0λ=0，故

設平面ADF的法向量為 ，

由 知 ，取 ，故

設平面ADF和平面BEC1所成銳角為θ，則

即平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出BE⊥D1E，D1E⊥C1E，由此能證明D1E⊥平面BEC1 ． （2）取AB中點G，則由△ABD為等邊三角形知DG⊥AB，從而DG⊥DC，以DC，DG，DD1為坐標軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．