Question

【題目】設，，，是橢圓：（）的四個頂點，四邊形是圓：的外切平行四邊形，其面積為.橢圓的內接的重心（三條中線的交點）為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據點到直線的距離以及菱形的面積公式可得到關于的二元二次方程組，解出方程組可得橢圓方程；（Ⅱ）當直線斜率不存在時，易得三角形的面積，當直線斜率存在時，設直線的方程， ， ，聯立直線與橢圓的方程，運用韋達定理以及，由為重心，可得點坐標，點在橢圓上代入化簡整理可得，利用弦長公式以及點到直線的距離公式求出及，由與整體代換思想相結合可得最后結果.

試題解析：（Ⅰ）因為四邊形是圓外切平行四邊形，所以，

又，所以，，

故所求橢圓的方程為.

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，因為為的重心，故為左、右頂點，

不妨設，則直線的方程為，

易得，到直線的距離，

所以.

設直線方程為：，，.

由得，

則.

即，

∴，

∴.

∵為的重心，∴，

∵點在橢圓上，故有，

化簡得.

∴.

又點到直線的距離（是原點到距離的3倍得到）.

∴.

綜上可得，的面積為定值.