Question

如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側棱，為中點，為中點，為上一個動點.

（Ⅰ）確定點的位置，使得；
（Ⅱ）當時，求二面角的平面角余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）為的四等分點；（Ⅱ） .

試題分析：（Ⅰ）用向量法的解題步驟是建立恰當的空間直角坐標系，寫出相應的點的坐標及向量的坐標，利用向量的數量積為0，則這兩個向量垂直，得出結論；（Ⅱ）二面角的問題，找到兩個平面的法向量的夾角，利用向量的夾角公式求解.
試題解析：方法一：

(Ⅰ)如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則
易得       2分
由題意得,設
又
則由得，
∴,得為的四等分點.         6分
(Ⅱ)易知平面的一個法向量為，設平面的法向量為
則,得，取，得，      10分
∴，∴二面角的平面角余弦值為.12分
方法二：
（Ⅰ）∵在平面內的射影為，且四邊形為正方形，為中點， ∴
同理，在平面內的射影為，則
由△～△， ∴,得為的四等分點.        6分
（Ⅱ）∵平面,過點作，垂足為；
連結，則為二面角的平面角；          8分
由，得,解得
∴在中，,
∴；∴二面角的平面角余弦值為.  12分