Question

已知橢圓E的焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）已知點A（0，1）和直線l：y=x+m，線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB，求實數m的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵橢圓E的長軸長為4，∴a=2，離心率為

3

2

．
∴

c

a

=

3

2

，c=

3

，∴b=1
∵橢圓E的焦點在x軸上，
∴橢圓E的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由條件可得直線AB的方程為y=-x+1．于是，有

y=-x+1 x2 4 +y2=1

?5x2-8x=0?xB=

8

5

，yB=-xB+1=-

3

5

．
設弦AB的中點為M，則由中點坐標公式得xM=

4

5

，yM=

1

5

，由此及點M在直線l得

1

5

=

4

5

+m?m=-

3

5

．