Question

已知橢圓E的焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）已知點A（0，1）和直線l：y=x+m，線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB，求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據已知可求出橢圓中的a，b的值，再根據橢圓的焦點在x軸上，就可得到橢圓方程．
（Ⅱ）根據直線AB與直線l：y=x+m垂直，可得直線AB的斜率，結合A點坐標就可求出直線AB的方程，代入橢圓方程，化簡，利用韋達定理求出AB的中點坐標，代入直線l的方程，就可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E的長軸長為4，∴a=2，離心率為．
∴，c=，∴b=1
∵橢圓E的焦點在x軸上，
∴橢圓E的標準方程為；
（Ⅱ）由條件可得直線AB的方程為y=-x+1．于是，有，．
設弦AB的中點為M，則由中點坐標公式得，，由此及點M在直線l得．
點評：本題主要考查了橢圓的性質，標準方程，以及直線與橢圓相交問題中韋達定理的應用．