Question

已知函數f（x）=log_a（3+x）+log_a（3-x），（a＞0且a≠1），
（1）當a=3時，求函數f（x）的定義域和值域；
（2）求關于x不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數的定義域及其求法,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=3時，由函數f（x）的解析式可得：3+x＞0且3-x＞0，由此求得函數的定義域．進而根據對數的運算性質和對數函數的圖象和性質，得到函數的值域；
（2）不等式f（x）＜0可化為log_a（3+x）•（3-x）＜log_aa，分當a＞1和當0＜a＜1時兩種情況，分別利用函數的單調性和定義域，可求得要求的不等式的解集．

解答： 解：（1）當a=3時，f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x），
由3+x＞0且3-x＞0得：x∈（-3，3），
故函數f（x）的定義域為（-3，3），
又由f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（9-x²）中，
當x=0時，9-x²取最大值9，此時f（x）取最大值2，
可得求函數f（x）的值域為（-∞，2]；
（2）函數f（x）=log_a（3+x）+log_a（3-x）=log_a（9-x²），
當a＞1時，不等式f（x）＜0可化為：9-x²∈（0，1），
解得：x∈（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
當0＜a＜1時，不等式f（x）＜0可化為：9-x²∈（1，+∞），
解得：x∈（-2

2

，2

2

），
故當a＞1時，不等式f（x）＜0的解集為（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
當0＜a＜1時，不等式f（x）＜0的解集為（-2

2

，2

2

）．

點評：本題主要考查求函數的定義域、判斷函數的奇偶性，對數不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎題．