Question

（本題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，），離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意得b=，，，∴ a=2，c=1，

   ∴ 橢圓C的方程.…………………………………………………………3分

(Ⅱ)因直線l與y軸相交，故斜率存在，設(shè)直線l方程為：，求得l與y軸交于M(0，-k)，又F坐標(biāo)為 (1，0)，設(shè)l交橢圓于，

由 消去y得，

，………5分

又由  ∴，

同理，

，

…………………7分

所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，的值為定值.………………………………8分

（Ⅲ）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l⊥x軸，則為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交于FK的中點(diǎn)，

猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)，…………………9分

證明：由（Ⅱ）知，，

當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過(guò)定點(diǎn)

，

當(dāng)時(shí)，

.  ………………………………11分

∴點(diǎn)在直線上，同理可證，點(diǎn)也在直線上；

∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)，  …………………………………13分