Question

【題目】已知 =2（cosωx，cosωx）， =（cosωx， sinωx）（其中0＜ω＜1），函數f（x）= ，
（1）若直線x= 是函數f（x）圖象的一條對稱軸，先列表再作出函數f（x）在區間[﹣π，π]上的圖象．
（2）求函數y=f（x），x∈[﹣π，π]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= =2cos2ωx+2 sinωxcosωx=cos2ωx+ sin2ωx+1=2sin（2ωx+ ）+1，

若直線x= 是函數f（x）圖象的一條對稱軸，則2ω + =kπ+ ，k∈Z，

即ω= + ，k∈Z，

結合0＜ω＜1，可得ω= ，故f（x）=2sin（x+ ）+1．

列表：

x+	﹣	﹣	0		π
x	﹣π	﹣	﹣			π
y	0	﹣1	1	3	1	0

函數f（x）在[﹣π，π]的圖象如圖所示：

（2）解：根據x∈[﹣π，π]，可得x+ ∈[﹣ ， ]，sin（x+ ）∈[﹣1，1]，故函數f（x）的值域為[﹣1，3]．

【解析】（1）利用兩個向量的數量積公式，三角恒等變換化簡函數的解析式，再用用五點法作函數y=f（x）在區間[﹣π，π]上的圖象．（2）由題意利用正弦函數的定義域和值域，求得函數y=f（x），x∈[﹣π，π]的值域．