Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，Sn表示數列{an}的前n項的和，且
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設 ，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=an2+an，

∴當n=1時，2a1=2S1=a12+a1，且an＞0，

可得a1=1，

∵2Sn=an2+an，

∴當n≥2時，2Sn﹣1=an﹣12+an﹣1，

∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又an＞0，

∴an﹣an﹣1=1，

則{an}是以1為首項，以1為公差的等差數列，

故an=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*；

（2）解：由bn= = =2（ ﹣ ）

可得Tn=2（1﹣ + ﹣ ++ ﹣ ）

=2（1﹣ ）= ．

【解析】（1）由數列的遞推式：當n=1時，a1=S1，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，結合等差數列的定義和通項公式，即可得到所求通項；（2）求得bn= = =2（ ﹣ ），運用數列的求和方法：裂項相消求和，計算即可得到所求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．