Question

已知向量a=(cosα ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a與b之間滿足關系：|ka+b|=|a-kb|，其中k>0。
（1）求將a與b的數量積用k表示的解析式f(k)；
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，則說明理由；若能，則求出對應的k值；
（3）求a與b夾角的最大值。

Answer 1

解：（1）∵ |ka+b|=|a-kb|，
兩邊平方，得|ka+b|²=3|a-kb|²，
∴k²a²+2ka·b+b²=3(a²-2ka·b+k²b²)，
∵a=(cosα ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，　
∴a²=1，b²=1，
∴f(k)=。
（2）∵k²+1≠0，　
∴a·b≠0，故a與b不垂直，
若a//b，則|a·b|=|a||b|，即=1， 　　
又k>0，
∴k=2±。
（3）設a與b的夾角為θ，
∵a·b=|a||b|cosθ，
∴cosθ=，
由k>0， k²+1≥2k，得，
即cosθ≥，
∴a與b夾角的最大值為。