Question

（2010•通州區一模）設F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點，橢圓C上一點P（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4．又直線l：y=

1

2

x+m與橢圓C有兩個不同的交點A、B，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l經過點F₁，求△ABF₂的面積；
（Ⅲ）求

OA

 • 

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設可知，橢圓的焦點在x軸上，求出a=2，又點A（1，

3

2

）在橢圓上，解得b，最后寫出橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁、F₂兩點的坐標；直線l：y=

1

2

x+m經過點F₁求得m，設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得△ABF₂的面積，從而解決問題．
（Ⅲ）設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的數量積坐標公式即可求得求

OA

 • 

OB

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設可知，橢圓的焦點在x軸上，且2a=4，即a=2．            （1分）
又點A（1，

3

2

）在橢圓上，∴

1

4

+

( 3 2 )  2

b2

=1，解得b²=3．（2分）
∴橢圓C的標準方程是

x2

4

+

y2

3

=1．                                          （3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c²=a²-b²=1，即c=1，
∴F₁、F₂兩點的坐標分別為（-1，0）、（1，0）．                                    （4分）
∵直線l：y=

1

2

x+m經過點F₁（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）+m，∴m=

1

2

．                                               （5分）
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由題意，有

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+ 1 2

，消去x，整理得16y²-12y-9=0，
∴y₁+y₂=

3

4

，y₁y₂=-

9

16

．                                                （6分）
設△ABF₂的面積為S_ABF2，則
S_ABF2=

1

2

|F₁F₂||y₂-y₁|=

1

2

×2

(y1+y2)  2-4y1y2

=

9 16 + 36 16

=

3 5

4

（Ⅲ）設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則由題意，有

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，消去y，整理得x²+mx+m²-3=0  ①
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3．
∴y₁y₂=（

1

2

x₁+m）（

1

2

x₂+m）=

1

4

x₁x₂+

1

2

（x₁+x₂）m+m²
=

1

4

（m²-3）+

1

2

（-m）m+m²=

3

4

m²-

3

4

．                                      （10分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=m²-3+

3

4

m²-

3

4

=

7

4

m²-

15

4

，（11分）
又由①得，△=m²-4（m²-3）=-3m²+12，
∵A、B為不同的點，∴△＞0，∴0≤m²＜4．     
∴-

15

4

≤

OA

•

OB

＜

13

4

．
∴

OA

•

OB

的取值范圍是[-

15

4

，

13

4

）．                                          （14分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、平面向量數量積的運算、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．