Question

【題目】已知點(diǎn)，在圓：上任取一點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn).（如圖）.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若過點(diǎn)的動直線與（1）中的軌跡相交于、兩點(diǎn).問：平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？試證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在，證明見解析

【解析】

（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓；

（2）先考慮當(dāng)直線軸和直線軸的情況得到定點(diǎn)；再考慮對直線的一般情況都有點(diǎn)滿足題意.

（1）依題意得，，

故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

，，，

因此，所求的軌跡是橢圓：.

（2）當(dāng)直線軸時，由得知點(diǎn)在軸上，可設(shè).

當(dāng)直線軸時，，，由得

，或.

因此，若存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

下面我們來證明：對任意直線均有.

當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線：，，.

把代入得，

由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，故判別式.所以

，，，

易知點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，

而，

又，

所以，

即、、三點(diǎn)共線，

，

綜上知，存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足題意.