Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.

（1）判斷函數是否是有界函數，請寫出詳細判斷過程；

（2）試證明：設，若在上分別以為上界，

求證：函數在上以為上界；

（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，

求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）是有界函數（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：（1），當時，

則，由有界函數定義可知是有界函數

(2)由題意知對任意，存在常數，都有成立

即，同理（常數）

則，即

在上以為上界

 (3)由題意知，在上恒成立。

，    

∴   在上恒成立

∴    

設，，，由得 t≥1，

設，，

所以在上遞減，在上遞增，（單調性不證，不扣分）

在上的最大值為，

 在上的最小值為。

所以實數的取值范圍為

考點：二次函數求最值及不等式恒成立問題

點評：不等式恒成立轉化為求函數最值問題，利用單調性可求最值