Question

已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調遞增函數且對定義域內任意的x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式f（3x）+f（2x-1）≤2．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用賦值法令x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）解不等式f（3x）+f（2x-1）≤2．

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
則f（1）=0；
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2，
則不等式f（3x）+f（2x-1）≤2等價為f[3x（2x-1）]≤f（9）．
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調遞增函數，
∴

3x＞0 2x-1＞0 3x(2x-1)≤9

，即

x＞0 x＞ 1 2 2x2-x-3≤0

，解得

1

2

＜x≤

3

2

，
故不等式f（3x）+f（2x-1）≤2的解集是（

1

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法以及函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵．