Question

如圖，已知拋物線的焦點為，過焦點且不平行于軸的動直線交拋物線于，兩點，拋物線在、兩點處的切線交于點.

（Ⅰ）求證：，，三點的橫坐標成等差數列；
（Ⅱ）設直線交該拋物線于，兩點，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）可設直線的方程（），，，由消去，得，. ，，由，得，所以，直線的斜率為直線的方程為 同理，直線的方程為  M的橫坐標即，，三點的橫坐標成等差數列（Ⅱ）32

解析試題分析：（Ⅰ）由已知，得，顯然直線的斜率存在且不為0，則可設直線的方程
（），，，

由消去，得，
. ，         2分
由，得，所以，直線的斜率為，
所以，直線的方程為，又，
所以，直線的方程為      ①         4分
同理，直線的方程為      ②          5分
②-①并據得點M的橫坐標，
即，，三點的橫坐標成等差數列          7分
（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以點M的坐標為（2k,-1）().
所以，則直線MF的方程為          8分
設C(x₃,y₃),D(x₄,y₄), 由消去，得，
，.             9分
又
               10分

         12分
因為，所以，
所以，，
當且僅當時，四邊形面積的取到最小值         14分
考點：拋物線方程及直線與拋物線的相交的位置關系弦長等
點評：當直線與圓錐曲線相交時，常聯立方程組轉化為關于x的二次方程，進而利用方程的根與系數的關系設而不求的方法化簡，在求解時弦長公式經常用到，本題中函數在某一點的切線問題要借助于導數的幾何意義求出切線斜率