Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： =1，設R（x0 ， y0）是橢圓C上的任一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q．

（1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1 ， k2 ， 求證：2k1k2+1=0；
（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑 ，

因為直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，

所以 ，即 ，①

又點R在橢圓C上，所以 ，②

聯立①②，解得 …（3分）

所以所求圓R的方程為

（2）解：因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，

所以 ，化簡得 =0

同理 ，

所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個不相等的實數根，

因為點R（x0，y0）在橢圓C上，所以 ，即 ，

所以 ，即2k1k2+1=0

（3）解：OP2+OQ2是定值，定值為36，

理由如下：

法一：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立 解得

所以 ，同理，得 ，

由 ，

所以 = = = =36

（ii）當直線ξ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36，

綜上：OP2+OQ2=36． …（16分）

法二：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

因為2k1k2+1=0，所以 ，即 ，

因為P（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，所以 ，

即 ，

所以 ，整理得 ，

所以 ，

所以OP2+OQ2=36．

（ii）當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36，

綜上：OP2+OQ2=36

【解析】（1）通過直線OP，OQ互相垂直，以及點的坐標適合橢圓方程，求出圓的圓心，然后求圓R的方程；（2）因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，推出k1 ， k2是方程 =的兩個不相等的實數根，利用韋達定理推出k1k2 ． 結合點R（x0 ， y0）在橢圓C上，證明2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：
法一：（i）當直線ξ不落在坐標軸上時，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
聯立 ，推出 ， ，由 ，求出OP2+OQ2是定值．
（ii）當直線落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36．
法二：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通過2k1k2+1=0，推出 ，利用P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），在橢圓C上，聯立 ，推出OP2+OQ2=36．即可．