Question

【題目】已知圓C：x2+（y﹣1）2=5，直線l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有有兩個不同的交點A、B；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直線l：mx﹣y+1﹣m=0過定點P（1，1），而點P（1，1）在圓內，

∴直線l與圓C總有兩個不同交點

（2）解：當M與P不重合時，連結CM、CP，則CM⊥MP，

又因為|CM|2+|MP|2=|CP|2，

設M（x，y）（x≠1），則x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，

化簡得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1）

當M與P重合時，x=1，y=1也滿足上式．

故弦AB中點的軌跡方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．

【解析】（1）利用直線l：mx﹣y+1﹣m=0過定點P（1，1），而點P（1，1）在圓內，判定直線l與圓C總有兩個不同交點A、B；（2）設出弦AB中點M，用弦的中點與圓心連線與割線垂直，求出軌跡方程．