Question

【題目】已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．

（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，M為OC中點(diǎn)，若二面角O﹣PM﹣D的正切值為2 ，求a：b的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，

又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

因?yàn)镻A∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，

因?yàn)锽D平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．

（2）解：過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，

因?yàn)镈O⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，所以∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角

又 ，且

從而

∴

所以9a2=16b2，即

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC．（2）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為2 ，即可求a：b的值．