Question

在三棱錐中，側棱長均為，底邊，，，、分別為、的中點.

（1）求三棱錐的體積；
（2）求二面角的平面角.

Answer 1

（1）三棱錐的體積為；（2）二面角的平面角的大小為.

試題分析：（1）由于三棱錐的側棱長都相等，可以得到點在平面內的射影點為的外心，而由于的三條底邊滿足勾股定理，可知為直角三角形的斜邊，從而可以知道的中點即為直角三角形的外心，然后利用勾股定理求出，并且計算出直角三角形的面積，最后利用錐體的體積公式計算此三棱錐的體積；（2）解法一是在（1）中的基礎上，利用平面，得到平面平面，然后在平面內作于點，利用平面與平面垂直的性質定理得到平面，從而得到，再從點在平面內作于點，并連接，利用三垂線法得到為二面角的平面角，最后在直角三角形中計算的大小；解法二是以為原點，以為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角
的平面角的大小.
試題解析：（1）取的中點，連接，
易得：，，
,
.
.
又 平面，

（2）法一：作⊥，⊥于點，連接
平面,平面,

又 平面.
∵，  ∴
又 平面，
∵，∴，
∴為二面角的平面角.
∵,,
由（Ⅰ）知，.
∴，
∴,∴，
法二：以為原點，以為軸建系，則，，
設為平面的法向量，則有
，
∴
又∵為平面的法向量，
∴,二面角的平面角為.