Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，使得|f（x）|≤M成立，則稱f（x） 是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數f（x）=4^-x+p•2^-x+1，g（x）=．
（Ⅰ）當p=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（Ⅱ）若，函數g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=1+（）x+（ ）x，可判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性，由單調性可得求得f（x）在（-∞，0）上的值域，由值域可判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數． 
（Ⅱ）g（x）=-1，易判斷g（x）在[0，1]上的單調性，由單調性可求得g（x）的值域，進而求得|g（x）|的值域，由上界定義可求得H（q）的范圍；
（Ⅲ）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即-3≤f（x）≤3恒成立，設t=（）x，t∈（0，1]，則轉化為3≤1+pt+t²≤3恒成立，分離參數p后轉化為求函數最值即可解決；
解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=1+（）x+（）x，
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域為（3，+∞），
故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函數f（x）在（-∞，0）上不是有界函數． 
（Ⅱ）g（x）=-1，∵q＞0，x∈[0，1]，∴g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即，
∵q∈（0，]，∴||≥||，
∴|g（x）|≤||，
所以H（q）≥||，即H（q）的取值范圍為[||，+∞）．
（Ⅲ）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
設t=（）x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+pt+t²≤3，
∴-（t+）≤p≤-t在（0，1]上恒成立，
設h（t）=-t-，m（t）=-t，則h（t）在（0，1]上遞增；m（t）在（0，1]上遞減，
所以h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；m（t）在（0，1]上的最小值為m（1）=1，
所以實數p的取值范圍為[-5，1]．
點評：本題考查函數的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，正確理解新定義，合理地進行等價轉化．