Question

如右圖所示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖中的常數A可以是正數，也可以是負數或零）
（1）試判斷函數f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（2）已知某質點的運動方程為S(t)=at-2

t+1

，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度是以A=

1

2

為下界的函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界32．利用導數求極小值能夠進行判斷．
（2）質點在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度：v=S′(t)=a-

1

t+1

，依題意得對?t∈[0，+∞）a≥

1

t+1

+

1

2

對?t∈[0，+∞）恒成立．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界32．
理由如下：
∵f(x)=x3+

48

x

，
∴f′(x)=3x2-

48

x2

，
由f′(x)=3x2-

48

x2

=0，
得x=2，或x=-2（舍）
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

極小值f（2）=8+

48

2

=32．
∵只有一個極小值，
∴f（x）≥32，
函數f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界32．
（2）質點在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度：
v=S′(t)=a-

1

t+1

，
依題意得對?t∈[0，+∞）有a-

1

t+1

≥

1

2

；
即：a≥

1

t+1

+

1

2

對?t∈[0，+∞）恒成立．
所以  a≥

3

2

．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．