Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2a|+|x+1|，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＜5；
（2）若存在x_o∈R，使得f（x_o）＜3，成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)分區(qū)間，討論當(dāng)x≥2時(shí)，當(dāng)x≤-1時(shí)，當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，化簡(jiǎn)不等式解得，最后求并集即可；
（2）由題意知這是一個(gè)存在性的問(wèn)題，須求出不等式左邊的最小值，可運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得最小值，再令其小于3，即可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-2|+|x+1|，
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）＜5，即為（x-2）+（x+1）＜5，即x＜3成立，則有2≤x＜3；
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）＜5即為（2-x）-（1+x）＜5，即x＞-2，解得-2＜x≤-1；
當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，f（x）＜5即為2-x+（x+1）＜5，即3＜5成立，則有-1＜x＜2．
則原不等式的解集為（-2，-1]∪∪（-1，2）∪[2，3）即為（-2，3）；
（2）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|x-2a|+|x+1|≥|（x-2a）-（x+1）|=|2a+1|，
即有f（x）的最小值為|2a+1|．
若存在x_o∈R，使得f（x_o）＜3成立，
可得|2a+1|＜3，故有-3＜2a+1＜3，求得-2＜a＜1，
則a的取值范圍為（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查不等式的存在性問(wèn)題，注意與恒成立問(wèn)題的區(qū)別，屬于中檔題和易錯(cuò)題．