Question

（本小題滿分14分）
已知函數（為常數）的圖象與軸交于點，曲線在點處
的切線斜率為-1.
（I）求的值及函數的極值；
（II）證明：當時，；
（III）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.

Answer 1

（I）,極值參考解析;（II）參考解析;（III）參考解析

解析試題分析：（I）由函數（為常數）的圖象與軸交于點，曲線在點處
的切線斜率為-1.所以求函數的導數,即可求出的值.再根據函數的導數地正負,即可得函數的極值.
（II）當時，恒成立,等價轉換為函數的最值問題.令,通過求函數的導數求出最值即可得到結論.
（III）對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.由（II）得到函數的單調性當時,即可找到符合題意.當時.通過等價轉化,等價于不等式恒成立問題,再對通過估算得到的值.即可得到結論.
試題解析：（I）由，得.又,得.所以.令,得.當時, 單調遞減;當時, 單調遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值.
（II）令,則.由（I）得,故在R上單調遞增,又,因此,當時, ,即.
（III）①若,則.又由（II）知，當時, .所以當時, .取,當時，恒有.
②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內單調遞增.取,所以在內單調遞增.又.易知.所以.即存在,當時，恒有.
綜上，對任意給定的正數c，總存在,當時,恒有.
考點：1.函數的極值.2.構建新函數證