Question

據報道：日本明治公司生產銷售的“明治STEP”奶粉中檢測出每千克奶粉中含30.8貝克勒爾的放射性核素銫．若某袋“明治STEP”奶粉中含a貝克勒爾的放射性核素銫，銫按每年10%衰減．
（1）求x年后，這袋“明治STEP”奶粉中放射性元素銫的含量M的表達式；
（2）由求出的函數表達式M（x），求這種放射性元素銫的半衰期T（T剩留量為原來的一半所需的時間叫做半衰期）．（精確到1年．已知lg2=0.301 0，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）由已知中銫按每年10%衰減，某袋“明治STEP”奶粉中含a貝克勒爾的放射性核素銫，構造指數型函數，可得x年后，這袋“明治STEP”奶粉中放射性元素銫的含量M的表達式．
（2）當T剩留量為原來的一半時，根據一中函數的解析式，可得0.9^x=0.5，利用換底公式，解指數方程可得答案．

解答：解：（1）由題意得：M（x）=a（1-0.1）^x=a×0.9^x（x≥0），…（4分）
（2）M(x)=a(1-0.1)x=a×0.9x=

1

2

a，
∴0.9^x=0.5，…（6分）
∵0.9^x=0.5，
∴x=log0.90.5=

lg 1 2

lg 9 10

=

-lg2

2lg3-1

=

-2×0.301

2×0.4771-1

≈7（年）
答：放射性元素銫的半衰期約為7年．，…（10分）

點評：本題考查的知識點是指數函數，函數的應用熟練掌握指數式與對數式之間的轉化及對數的運算性質是解答的關鍵．