Question

設{a_n}是公差d不為零的正項等差數列，S_n為其前n項的和，滿足5S₃-6S₅=-105，a₂，a₅，a₁₄成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設c∈N，c≥2，令bn=|

an

2c-1

-1|，T_n為數列{b_n}的前n項的和，若T_2c≤6，求c的值．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列求和公式分別表示出S₃和S₅，進而根據題設等式求得a₁和d的關系式，用等差數列的通項公式表示出a₂，a₅，a₁₄，根據等差數列等差中項的性質建立等式求得a₁和d的另一關系式，進而聯立求得a₁和d的，則數列的通項公式可得．
（2）把（1）中求得的a_n代入求得b_n，進而求得n≤c和n≥c+1時b_n，進而利用等差數列和等比數列的求和公式求得前2c項的和，進而根據T_2c≤6，求得c的范圍，進而根據c∈N進而求得c的值．

解答：解：（1）∵S_n=na₁+

n(n-1)d

2

，
∴S₅=5a₁+10d，S₃=3a₁+3d
∴5S₃-6S₅=-（15a₁+45d）=-105
∴a₁+3d=7①
又a₂，a₅，a₁₄成等比數列．
∴（a₅）²=a₂a₁₄，即（a₁+4d）2=（a₁+d）（a₁+13d）
∴d²=2a₁d，∵d≠0
∴d=2a₁，②
由①②得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
（2）bn=|

an

2c-1

-1|=|

2(n-c)

2c-1

|=

2|n-c|

2c-1

當n≤c時，b_n=

2(c-n)

2c-1

，當n≥c+1時，b_n=

2(n-c)

2c-1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_2c=（b₁+b₂+…+b_c）+（b_c+1+b_c+2+…+b_2c）=
=（

2(c-1)

2c-1

+

2(c-2)

2c-1

+…+

0

2c-1

）+（

2

2c-1

+

4

2c-1

+…+

2c

2c-1

）=

2c 2

2c-1

∵T_n≤6，∴

2c 2

2c-1

≤6，
∴c²-6c+3≤0，解得3-

6

≤c≤3+

6

∵c∈N，
∴c=2或c=3或c=4或c=5．

點評：本題主要考查了數列的求和問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．