Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，證明：直線AB過定點．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，
點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F₁MF₂是等腰直角三角形，
∴b=2，，
所求橢圓方程為． …（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設AB方程為y=kx+m，
依題意m≠±2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 ，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（7分）
則，．
∵，
∴，
即2k+（m-2）•=8．…（10分）
所以k=-，整理得 m=．
故直線AB的方程為y=kx+，即y=k（x+）-2．
所以直線AB過定點（-，-2）． …（12分）
若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x₀，
設A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知，
得．此時AB方程為x=-，顯然過點（-，-2）．
綜上，直線AB過定點（-，-2）．…（13分）
分析：（Ⅰ）由題設條件知b=2，，由此能夠求出橢圓方程．
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．由 ，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由韋達定理結合題設條件能夠導出直線AB過定點（-，-2）．若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x₀，由題設條件能夠導出直線AB過定點（-，-2）．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．