Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中,底面,且底面為正方形,分別為的中點．

（1）求證:平面;

（2）求平面和平面的夾角.

 

Answer 1

證明見解析

【解析】

試題分析：：（1）利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.（2）證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（1）如圖，以為原點,以為方向向量

建立空間直角坐標系

則.

.

設平面的法向量為

即 令

則.

又平面平面

（2）底面是正方形,又平面

又,平面

向量是平面的一個法向量,又由（1）知平面的法向量.

二面角的平面角為.

考點：（1）證明直線與平面平行；（2）利用空間向量解決二面角問題.