Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在 上只有一個零點，求的取值范圍；

（3）設(shè) 為函數(shù)的極小值點，證明：

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時,單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間； （2）； （3）見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間，注意參數(shù)的討論；

（2）分離參數(shù)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最值求解；

（3）利用導(dǎo)數(shù)求出極值點，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)單調(diào)性求解.

(1)函數(shù)定義域為R,

因為 ,

當(dāng)時, 恒成立,在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)時,令得

當(dāng)時， ，當(dāng)時，

綜上：當(dāng)時,單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間；

當(dāng)時,增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 ,

（2）因為在上只有一個零點,所以方程上只有一個解.

設(shè)函數(shù)則,

當(dāng)時,, 當(dāng)時,,

所以在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減

故 ,又,

所以的取值范圍為.

（3）由（1）知當(dāng)時，在時取得極小值,

的極小值為

設(shè)函數(shù)

當(dāng)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)f(x)單調(diào)遞增；

故即所以.