Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓與圓關于直線對稱.

（1）求直線的方程；

（2）設圓與圓交于點、，點為圓上的動點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

根據題意知,所求的直線與直線垂直,且經過的中點,分別求出點和點的坐標,然后代入點斜式求解即可.

由（1）得：直線的方程為，由圓和圓關于直線對稱可知,圓的半徑與圓的半徑相等為,利用弦長公式求出弦長,要使的面積最大，只需點到直線的距離最大,結合圖形可知,當時,的面積最大,求出此時的面積即可.

（1）把圓的方程化為，

所以圓心，半徑為，因為，

所以的中點為，.

由已知條件得，所求直線與直線垂直,且經過的中點,

即直線經過點，且斜率，

所以所求直線方程為，

即即為所求的直線方程.

（2）由（1）得：直線的方程為，

由點到直線的距離公式可得,

圓心到直線的距離為,

因為圓和圓關于直線對稱,

所以圓的半徑與圓的半徑相等為，

所以弦長，

要使的面積最大，只需點到直線的距離最大,

結合圖形可知,當時，的面積最大，

此時點到直線的距離為，

此時的面積為.

所以面積的最大值為.