Question

設f(x)＝ln(1＋x)－x－ax².
(1)當x＝1時，f(x)取到極值，求a的值；
(2)當a滿足什么條件時，f(x)在區間[－，－]上有單調遞增區間？

Answer 1

（1）a＝－   （2）a∈(－1，＋∞)．

解：(1)由題意知，f(x)的定義域為(－1，＋∞)，
且f′(x)＝－2ax－1＝，
由題意得：f′(1)＝0，則－2a－2a－1＝0，得a＝－，
又當a＝－時，f′(x)＝＝，
當0<x<1時，f′(x)<0；當x>1時，f′(x)>0，
所以f(1)是函數f(x)的極大值，所以a＝－.
(2)要使f(x)在區間[－，－]上有單調遞增區間，
即要求f′(x)>0在區間[－，－]上有解，
當－≤x≤－時，
f′(x)>0等價于2ax＋(2a＋1)>0.
①當a＝0時，不等式恒成立；
②當a>0時，得x>－，
此時只要－<－，
解得a>0；
③當a<0時，得x<－，
此時只要－>－，
解得－1<a<0.
綜上所述，a∈(－1，＋∞)．