Question

定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意x，y∈R⁺，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若對(duì)于x＞1時(shí)，恒有f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（Ⅲ）設(shè)a為正常數(shù)，解關(guān)于x的不等式f（x²+a）≤f[（a+1）x]．

Answer 1

分析：（I）將x=1、y=1代入題中的等式，化簡(jiǎn)即可得出f（1）=0；
（II）根據(jù)題意進(jìn)行配方：f(x2)=f(x1•

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)，結(jié)合條件x＞1時(shí)恒有f（x）＞0，利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（III）由前面證出的單調(diào)性建立關(guān)于x的不等式組，注意到a＞0且（a+1）x＞0，化簡(jiǎn)不等式為（x-a）（x-1）≤0，根據(jù)一元二次方程的解法加以討論，可得原不等式的解集．

解答：解：（I）將x=1、y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得
f（1×1）=f（1）+f（1），化簡(jiǎn)得f（1）=0；
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁、x₂為（0，+∞）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，
則

x2

x1

＞1，由x＞1時(shí)f（x）＞0得f(

x2

x1

)＞0．
∴f(x2)=f(x1•

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)，即f（x₁）＜f（x₂）．
由此可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（III）由（II）可得：原不等式等價(jià)于

x2+a＞0 (a+1)x＞0 x2+a≤(a+1)x

，
∵a＞0且（a+1）x＞0，∴不等式等價(jià)于x²+a≤（a+1）x，即（x-a）（x-1）≤0．
∴①當(dāng)a=1時(shí)，原不等式解集為{1}；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為[a，1]；
③當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式解集為[1，a]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)滿足的條件，求函數(shù)的單調(diào)性并解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)單調(diào)性的證明及其應(yīng)用、賦值法處理抽象函數(shù)和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．