Question

已知函數f（x）=|2x-a|-x²是定義在R上的偶函數，若方程f（x）=m恰有兩個實根，則實數m的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x）為偶函數可求a，進而可求函數f（x），然后作出函數的 圖象，結合圖象判斷y=m與y=f（x）有2個交點時的m的范圍即可

解答： 解：∵函數f（x）=|2x-a|-x²是定義在R上的偶函數，
∴f（-x）=f（x）對應任意的x都成立
∴|-2x-a|-x²=|2x-a|-x²
整理可得|2x-a|=|2x+a|對于任意的x都成立
∴a=0，f（x）=2|x|-x²=

-x2+2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

作出函數f（x）的圖象，如圖所示，根據圖象可知當m=1或m＜0時，方程f（x）=m恰有兩個實根
故答案為：m=1或m＜0．

點評：本題主要考查了偶函數的定義在函數解析式求解中的應用，解題的關鍵是數形思想的應用