Question

如圖，已知橢圓長軸|A₁A₂|=6，焦距|F₁F₂|=4

2

，過橢圓焦點F₁作一直線，交橢圓于兩點M，N，設∠F₂F₁M=α（0≤α＜π）當α取什么值時，|MN|等于橢圓短軸的長？

Answer 1

分析：解一：以橢圓焦點F₁為極點，以F₁為起點并過F₂的射線為極軸建立極坐標系，由已知條件可知橢圓的極坐標方程為ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2.據此能夠求出α的取值．

解二：以橢圓的中心為原點，F₁F₂所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為

x2

9

+y2=1.MN所在直線方程為y=k(x+2

2

)（其中k=tanα），聯立方程組后由題設條件能夠推導出α的取值．

解三：建立坐標系得橢圓方程為

x2

9

+y2=1.MN所在直線的參數方程為{x=-2

2

+tcosα，y=tsinα（t是參數）代入橢圓方程得(cos2α+9sin2α)t2-(4

2

cosα)t-1=0.設t₁，t₂是方程兩根，則由韋達定理結合題設條件能夠推陳出新導出α的取值．

解四：設|F₁M|=x，則|F₂M|=6-x|F₁F₂|=4

2

，∠F₂F₁M=α，在△MF₁F₂中由余弦定理結合題設條件能夠推陳出新導出α的取值．

解答：解：法一：以橢圓焦點F₁為極點，
以F₁為起點并過F₂的射線為極軸建立極坐標系
由已知條件可知橢圓長半軸a=3，
半焦距c=2

2

，短半軸b=1，
離心率e=

2 2

3

，中心到準線距離=

9 2

4

，
焦點到準線距離p=

2

4

．
橢圓的極坐標方程為ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．
解得cosα=±

2

2

．∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
以上解方程過程中的每一步都是可逆的，
所以當α=

π

6

或α=

5π

6

時，|MN|等于短軸的長．

法二：以橢圓的中心為原點，
F₁F₂所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為

x2

9

+y2=1．
MN所在直線方程為y=k(x+2

2

)（其中k=tanα）
解方程組

x2 9 +y2=1 y=k(x+2 2 )

．
消去y得(1+9k2)x2+36

2

k2x+9(8k2-1)=0.|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

36(1+k2)+36k2(1+k2) (1+9k2)2

=

6+6k2

1+9k2

=

6+6tan2α

1+9tan2α

=

6(1+tan2α)

9(1+tan2α)-8

=

6

9-8cos2α

=2，解得cosα=±

2

2

．∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
所以當α=

π

6

或α=

5π

6

時，|MN|等于短軸的長

法三：建立坐標系得橢圓方程為

x2

9

+y2=1．
MN所在直線的參數方程為

x=-2 2 +tcosα y=tsinα

（t是參數）
代入橢圓方程得(cos2α+9sin2α)t2-(4

2

cosα)t-1=0．
設t₁，t₂是方程兩根，則由韋達定理，
t1+t2=

4 2 cosα

cos2α+9sin2α

，t1t2=

-1

cos2α+9sin2α

．
|MN|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

6

cos2α+9sin2α

．=

6

9-8cos2α

=2，
解得cosα=±

2

2

．∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
所以當α=

π

6

或α=

5π

6

時，|MN|等于短軸的長

法四：設|F₁M|=x，則|F₂M|=6-x
|F₁F₂|=4

2

，∠F₂F₁M=α
在△MF₁F₂中由余弦定理得
(6-x)2=x2+(4

2

)2-8

2

xcosα，
2

2

xcosα-3x+1=0x=

1

3-2 2 cosα

同理，設|F₁N|=y，則|F₂N|=6-y在△F₁F₂N中，由余弦定理得
(6-y)2=y2+(4

2

)2-8

2

ycos(π-α)．
3y+2

2

ycosα=1，y=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=

1

3-2 2 cosα

+

1

3+2 2 cosα

=

6

9-8cos2α

=2，解得cosα=±

2

2

．
∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
所以當α=

π

6

或α=

5π

6

時，|MN|等于短軸的長．

點評：一題多解能夠有首席地提高我們的解題能力，不時練習時要多嘗試一題多解．