Question

如圖，已知橢圓長軸端點A、B，弦EF與AB交于點D，O為中心，且||=1，=2，∠FDO=，試建立適當的坐標系解決以下問題：
（1）求橢圓的長軸長的取值范圍；
（2）若D為橢圓的焦點，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如圖平面直角坐標系，則D（-1，0）弦EF所在的直線方程為y=x+1，設橢圓方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用長軸的表示的函數式即可求得范圍，從而解決問題．
（2）利用D為橢圓的焦點，則c=1，b²=a²-1結合（1）知：∴a²=9-a²  從而求出a，b的值，最后寫出橢圓方程即可．
解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標系，則D（-1，0）弦EF所在的直線方程為y=x+1
設橢圓方程設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由=2，知：y₁+y₂=-y₁，且y₁y₂=-2y₁² 聯立方程組，
消去x得：（a²+b²）y²-2b²y+b²-a²b²=0
由題意知：a＞1，∴△=4b⁴=4（a²+b²）（b²-a²b²）＞0
由韋達定理知：y₁+y₂==-y₁，y₁y₂==-2y₁²，
消去y₁得化簡整理得：b₂=∵0＜b²＜a²，∴0＜＜a²解得：
1＜a²＜5
∴2＜2a＜2  即：橢圓的長軸長的取值范圍為（2，2）．
（2）若D為橢圓的焦點，則c=1，b²=a²-1   
由（1）知：b²==a²-1，
∴a²=9-a²∴a²=，b²=∴橢圓方程為：．
點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關系，關鍵是直線與橢圓方程的聯立，利用韋達定理可解．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意合理地進行等價轉化．