Question

（2009•閔行區一模）在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作銳角α，其終邊與單位圓相交于A點，若A點的橫坐標

4

5

，則tan(

α

2

+

π

4

)的值為

2

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，作AB垂直于x軸，由單位圓的半徑為1，且A的橫坐標，根據勾股定理求出|AB|的長，即為A的縱坐標，根據銳角三角函數定義可知tanα的值為AB：OB，求出tanα的值，然后利用二倍角的正切函數公式化簡tanα，根據其值得到關于tan

α

2

的方程，求出方程的解得到tan

α

2

的值，最后把所求式子利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將tan

α

2

的值代入即可求出值．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

過A作AB⊥x軸，
∵A點的橫坐標

4

5

，即|OB|=

4

5

，又|OA|=1，
在Rt△AOB中，根據勾股定理得：|AB|=

3

5

，
∴A的縱坐標為

3

5

，即tanα=

3

4

，
∴tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

3

4

，即（3tan

α

2

-1）（tan

α

2

+3）=0，
解得：tanα=

1

3

或tanα=-3（舍去），
則tan(

α

2

+

π

4

)=

1 3 +1

1- 1 3

=2．
故答案為：2

點評：此題考查了銳角三角函數定義，二倍角的正切函數公式，兩角和與差的正切函數公式，以及特殊角的三角函數值，利用了數形結合的思想，熟練運用公式是解本題的關鍵．