Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（I）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：PB=PD；
（II）若∠DAB=60°，PA=PC，PB=PD，AB=2，PO=1，求直線AB與平面PAD所成角的正弦值；
（III）在棱PC上是否存在點M（異于點C），使得BM∥平面PAD．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）平面PAC⊥平面ABCD，AC⊥BD，根據平面和平面垂直的性質定理，得出BD⊥面PAC，BD⊥PO，又BO=DO，故PB=PD．
（II）設點B到平面PAD距離為d，AB與平面PAD所成角為α，則，利用體積相等法求出d后即得結果．
（III）不存在滿足題中條件的點M，用反證法證明．
解答：（I）證明：底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵面PAC⊥面ABCD，面PAC∩面ABCD=AC，BD?面ABCD
∴BD⊥面PAC，∵PO?面PAC，∴BD⊥PO
∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO，故PB=PD…..（3分）
（II）解：設點B到平面PAD距離為d，AB與平面PAD所成角為α，則
∵PA=PC，AO=OC，∴PO⊥BD
∵AC∩BD=O，∴PO⊥面ABCD
∵∠DAB=60°，AB=2，∴，又PO=1
∴，，
由于V_B-PAD=V_P-ABD，
∴
即∴，
，故直線AB與平面AD所成角的正弦值為…..（8分）
（III）解：不存在滿足題中條件的點M，下面用反證法證明．
假設在棱PC上存在點M（異于點C）
使得BM∥平面PAD
又菱形ABCD中BC∥AD，∵AD?面PAD，BD?面PAD
∴BC∥面PAD
∵BM?面PBC，BC?面PBC，BC∩BM=B
∴面PBC∥面PAD，而平面PBC與平面PAD相交矛盾，
故不存在這樣的點…（13分）
點評：本題考查了平面于平面垂直關系的判定與應用，直線與平面所成的角的概念與計算，考查空間想象能力、推理論證、計算能力．