Question

(12分)已知函數(shù)，

(1)當時，求的反函數(shù)；

(2)求關(guān)于的函數(shù) 當時的最小值；

(3)我們把同時滿足下列兩個性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”：①函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為.

(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數(shù)”？若是，求出的值或關(guān)系式；若不是，請說明理由；

(Ⅱ)若關(guān)于的函數(shù)是“和諧函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）     (或)

（2）

【解析】解：(1)

(2)由已知得：

令，則 ，

1)當時，

2)當時，，

(3)(Ⅰ)對(2)中，易知在上為減函數(shù)，

1)若時，遞減，若是“和諧函數(shù)”，

則與矛盾；

2)若時，恒等.

此時滿足題意，所以這樣的存在；

3)若，則

 .

     (或)

(Ⅱ)在上單增，由“和諧函數(shù)”的定義知：該函數(shù)在定義域內(nèi)，存在區(qū)間，使得該函數(shù)在上的值域為，所以，  ，為方程的二實根，

即方程在上存在兩個不等的實根，且恒成立，

令，