Question

  如圖，已知點P是三角形ABC外一點，且底面

，點，分別在棱上，且 。  。 

（1）求證：平面；

（2）當為的中點時，求與平面所成的角的大小；

（3）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（2）∵D為PB的中點，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP為等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴與平面所成的角的大小.

（3）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP為二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.      

∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，

故存在點E使得二面角是直二面角.

 

【解析】略