Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=1，點M是棱PC上的一點，且AM⊥PB．
（Ⅰ）求三棱錐C-PBD的體積；
（Ⅱ）證明：AM⊥平面PBD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先求三棱錐P-BCD的高為PA=1，S△BCD=

1

2

，即可求三棱錐C-PBD的體積V_C-PBD=V_P-BCD．
（Ⅱ）先證明PA⊥BD，BD⊥AC，即可證明BD⊥平面PAC，從而可證BD⊥AM，又AM⊥PB，即可證明AM⊥平面PBD．

解答： 解：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD，PA=1，即三棱錐P-BCD的高為PA=1，S△BCD=

1

2

，…2分
所以，三棱錐C-PBD的體積V_C-PBD=V_P-BCD，…4分
=

1

3

AP•S_△BCD=

1

6

…6分
（Ⅱ）由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，…7分
設(shè)AC，BD的交點為O，
由正方形知，BD⊥AC，…8分
所以，BD⊥平面PAC，…9分
從而，BD⊥AM…10分
又AM⊥PB，所以，AM⊥平面PBD…12分

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的求法，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．