Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，E、F分別是PB、CD的中點，且.

（1）求證：；

（2）求證：;

（3）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）參考解析，（2）參考解析，（3）

【解析】

試題分析：（1）由所給的條件想通過線面垂直的判定定理比較困難，通過做輔助線，由于底面是一個含60度內角的菱形，通過等邊三角形的三線合一的知識，轉化為先證線面垂直從而得到線線垂直，即可得到結論.

（2）要證只需在平面PAD內找到一條平行于EF的線即可，根據題意只需取PA的中點即可.

（3）欲求二面角的余弦值，本小題通過構造出二面角的平面角，再根據解三角形的知識求得相應的邊長，求得結論.

試題解析：（1）證明 取的中點連結

,為正三角形，

又

,

平面,同理可證

又平面 4分.

（2）取的中點，連結

且又且

，四邊形是平行四邊形，而平面

平面平面 8分

（3）取的中點過作于點連結

則又平面

是二面角的平面角.

在中，

又∽,.

在中，可求得，

故二面角的余弦值為 12分.

（注：若（2）、（3）用向量法解題，證線面平行時應說明平面內，否則扣1分；求二面角的余弦值時，若得負值，亦扣1分.）

考點：1.線面垂直.2.線面平行.3.二面角的概念.