Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°。

（Ⅰ）求證：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）設(shè)（0≤λ≤1），且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為30°，試求λ的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由余弦定理可得的邊長．由勾股定理可得,由面面垂直的性質(zhì)定理可證得面．（Ⅱ）以為原點建立空間直角坐標系,可得各點坐標,根據(jù)向量共線可用表示出點坐標,從而可得各向量坐標．根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0可得面與面的法向量．兩法向量夾角余弦值的絕對值等于．從而可求得的值．

試題解析：（Ⅰ）證明：因為平面, 平面，所以。在中， ，由余弦定理得：

， 所以，

故, 所以,

又，∴平面。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知， 兩兩垂直．以為原點， 所在直線為軸建立空間直角坐標系．

則， 。

所以, 所以， ∴,

則， 。

設(shè)平面的一個法向量為，

則， 得，

令，則，∴,∵平面， 是平面的一個法向量，

∴．

兩邊平方并化簡得，所以或（舍去）。