Question

橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的焦點為F₁，F₂，有下列研究問題及結論：
①曲線

x2

25-k

+

y2

9-k

=1 (k＜9)與橢圓C的焦點相同；
②一條拋物線的焦點是橢圓C 的短軸的端點，頂點在原點，則其標準方程為x²=±6y；
③若點P為橢圓上一點，且滿足

PF1

•

PF2

=0，則|

PF1

+

PF2

|=8．
則以上研究結論正確的序號依次是（　　）

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

Answer 1

分析：①求出橢圓C的焦點，再確定曲線

x2

25-k

+

y2

9-k

=1 (k＜9)為橢圓，確定出它的焦點，②根據數量積為0，確定兩向量垂直，|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|．

解答：解：①

x2

25

+

y2

9

=1中，焦點為（-4，0），（4，0），曲線

x2

25-k

+

y2

9-k

=1 (k＜9)也是表示橢圓，它的焦點為（-4，0），（4，0），①正確．
②橢圓C 的短軸的端點為（0，，3），拋物線的標準方程為x²=±12y；②錯．
③

PF1

•

PF2

=0，即

PF1

⊥

PF2

，∴|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|=8，③正確．
故選C．

點評：本題考查了橢圓的基本性質，橢圓的焦點，也考查了向量的數量積，屬于基礎題型．