Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，判斷在定義域上的單調(diào)性；

（2）若對定義域上的任意的，有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）證明：，.

Answer 1

【答案】（1）因為所以在上單調(diào)遞減，（2），（3）證明見解析.

【解析】

(1)求導(dǎo)后利用基本不等式證明導(dǎo)函數(shù)小于等于0即可.

(2) ,再分、和三種情況分別討論函數(shù)的最大值分析即可.

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論知,對任意都成立, 取再累加求證即可.

（1）當時,,故

因為,當且僅當時取等號.故

所以在上單調(diào)遞減.

（2）∵,

當時,則,∴在上單調(diào)遞增, ,

當時,令,解得,

當時, ,當時, ,

∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則時,

,

當時, ,在上單調(diào)遞減,則,

∴

（3）當時,成立

當時,由（2）知,對任意都成立

取,,則

所以

當時

所以

所以

所以

所以